12 júna 2009

Medoid trojice bodov

Narýchlo len jeden príkladík; nič mimoriadne, ale aspoň že je môj vlastný :-) Napadol ma dnes pri skúšaní analýzy zhlukov na predmete "Viacrozmerné štatistické analýzy 2".

Majme trojuholník ABC s navzájom rôznymi dĺžkami strán. Z trojice vrcholov A,B,C nazveme medoidom ten, ktorý má minimálny súčet vzdialeností od zvyšných dvoch vrcholov. Je nutne medoid bližšie k ťažisku trojuholníka ABC než zvyšné dva vrcholy?

Poznámka 13.6.: V komentároch nájdete Peťove riešenie pomocou súradnicového systému, ale skoro by som sa stavil, že existuje aj nejaké veľmi jednoduché tvrdenie založené na klasickej geometrii :-) Nájdete ho?

Poznámka 14.6.: Zdá sa, že môže platiť aj nasledovné tvrdenie; vedeli by ste nájsť dôkaz?

Majme trojuholník ABC s navzájom rôznymi dĺžkami strán. Z trojice vrcholov A,B,C nazveme antimedoidom ten, ktorý má maximálny súčet vzdialeností od zvyšných dvoch vrcholov. Je nutne antimedoid vzdialenejší od ťažiska trojuholníka ABC než zvyšné dva vrcholy?

07 júna 2009

Výsledky súťaže o najkrajšiu úlohu

Chcel by som poďakovať všetkým deviatim účastníkom súťaže, ktorí nám poslali 12 super úloh, ako aj ôsmim "porotcom", ktorí sa spolupodieľali na určení nasledovného výsledného poradia:

1. miesto (57 bodov): úloha Sto väzňov od Ondreja Budáča; 2. miesto (39 bodov): úloha Mravce na tyči od Petra Richtárika; 3. miesto (31 bodov): úloha Zapadajúce množiny od Ondreja Budáča

Ďalšie poradie nebudem zverejňovať, ale aby ste si spravili predstavu o tom, aké boli výsledky tesné: úlohy, ktoré skončili od 4. do 8. miesta mali medzi 22 a 29 bodov. Zaujímavé je tiež, že porotcovia dávali veľmi odlišné hodnotenie; všetkých 8 najlepšie hodnotených úloh bolo takých, že niektorý porotca ich zaradil na jedno z prvých dvoch miest, zatiaľčo iný porotca im dal 0 bodov. Individuálna predstava čo je to "pekná úloha", je prekvapivo rôznorodá.

Takže gratulujem víťazom a Ondro odo mňa získava sľúbenú knihu.