18 novembra 2012

Šesť bodov

Navrhovanie experimentov je pre mňa už skoro desať rokov nevyčerpateľný zdroj inšpirácie. Teória takzvaných blokových návrhov obsahuje matematické tvrdenia, ktoré sa dajú preformulovať do podoby nasledovného príkladu kombinujúceho teóriu grafov a lineárnu algebru.


Pýtame sa, či existuje šestica vektorov x1,2, x1,3, x1,4, x2,3, x2,4, x3,4 v trojrozmernom priestore, ktorá charakterizuje súvislosť obyčajných grafov so štyrmi vrcholmi týmto spôsobom: Graf s hranami h1, h2, ..., hn je súvislý vtedy a len vtedy, keď sa každý vektor v trojrozmernom priestore dá napísať ako lineárna kombinácia vektorov xh1, xh2, ..., xhn.

Ekvivalentná formulácia príkladu: Pýtame sa, či existuje šestica bodov x1,2, x1,3, x1,4, x2,3, x2,4, x3,4 v trojrozmernom priestore s nasledovnou vlastnosťou: Graf s hranami h1, h2, ..., hn je nesúvislý vtedy a len vtedy, keď existuje rovina prechádzajúca počiatkom súradnicového systému obsahujúca súčasne všetky body xh1, xh2, ..., xhn.